p为素数，p=a^2+b^2=c^2+d^2，假设a<=b，c<=d，求证：a=c，b=d

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/25 12:40:13
如题。请各位数学大牛帮帮忙~

证明：
不妨设c<a,则b<d
移项得(a-d)(a+d)=(c-b)(c+b)，于是可设
a-d=AB,
a+d=CD,
c-b=AC,
c+b=BD,
其中A,B,C,D为正整数
反解得
2a=AB+CD,
2b=BD-AC,
2d=CD-AB,
2c=BD+AC,
所以4p=(AB+CD)^2+(BD-AC)^2=(A^2+D^2)(B^2+C^2)
若A^2+D^2为4的倍数,由于A^2+D^2≠4,得p=(B^2+C^2)*(A^2+D^2)/4为合数,矛盾
同理B^2+C^2也不可能是4的倍数，因此A^2+D^2,B^2+C^2都不是4的倍数,即它们均是2的倍数
于是p=[(A^2+D^2)/2]*[(B^2+C^2)/2]
因为p为素数,所以(A^2+D^2)/2,(B^2+C^2)/2必定有一个为1，
不妨设(A^2+D^2)/2=1,则A=D=1,从而a=c=(B+C)/2,也矛盾
因此必有a=c，b=d。